Kategorier dette opslag er registreret under:
DatoOpdatering
Indhold
Diskussionsforum
Send
Sidst ajourført: 23/10 2003
Læst af: 51.793
: :
Matematik

Matematik i den oprindelige græske betydning af ordet er betegnelsen for læren om tal og rumstørrelser. Udviklingen af matematikken har imidlertid forlængst overskredet tallenes og rummets verden. Vor tids matematik har nået et abstraktionsniveau, som gør det stadig vanskeligere at skelne mellem matematik og logik. I lighed med logikken, står matematikken i dag centralt i snart sagt alle faglige og videnskabelige sammenhænge. Til trods for dette - eller måske netop på grund af dette - findes der ingen generelt accepteret definition af hvad matematik er. En mulig formulering er, at matematik er videnskaben om forbindelserne mellem visse abstrakte størrelser, når det eneste krav der stilles til disse størrelser er, at definitionen af dem ikke medfører logiske modsigelser.

Uanset hvilken definition man anvender for matematik, er der intet der tyder på, at en sådan definition har nogen betydning for udviklingen af matematikken. I den forstand synes matematikken - i lighed med de fleste andre videnskaber - at udvikle sig uden nogen større selvforståelse.

Op til vore dage skelnede man i matematikken mellem geometri, aritmetik og algebra. Geometri omhandler størrelser i rummet og planet. Aritmetikken er regning med tal, og algebraen er læren om løsning af ligninger. Den hurtige udvikling af matematikken i moderne tid førte til, at nye discipliner opstod: Matematisk analyse, mængdelære, topologi, sandsynlighedsregning osv.

Historie

I oldtidens Babylon kendte man så tidligt som 1700 f.v.t. til geometriske og algebraiske metoder. I modsætning til vort 10-talssystem opererede babylonierne med et 60-talssystem. Ligesom vor lille multiplikationstabel ender med 10 gange 10, endte deres multiplikationstabel med 60 gange 60. Babyloniernes talsystem var som vort et positionssystem. Til trods for mængden af taltegn havde de imidlertid længe ikke noget symbol for nul. I stedet lod de pladsen hvor nultegnet skulle have stået være tom. Med dette talsystem udførte babylonierne alle de almindelige regneoperationer, addition, subtraktion, multiplikation og division. De kunne også beregne enkelte potenser og rødder. Endnu i vore dage findes der rester efter dette babyloniske talsystem i 60'er inddelingen af timer og grader.

Højdepunktet i oldtidens matematiske tænkning blev nået i den græske kulturs storhedstid. Omkring 330 f.v.t. blev Euklids «Elementer» skrevet. Måske det mest betydningsfulde værk i matematikkens historie. Euklid benytter sig i dette værk af den deduktive metode. En metode som siden har været karakteristisk for den matematiske tænkemåde. Denne deduktive metode kan siges at bestå af tre trin. For det første defineres visse grundlæggende begreber som punkt, linie, plan og vinkel. Definitionerne knytter begreberne til vort fysiske rum. For det andet formuleres grundlæggende sætninger og postulater om disse begreber. Postulaterne skal være umiddelbart sande. For det tredje afledes nye sætninger - teoremer - fra postulaterne. Teoremernes sandhed skal være en følge af postulaternes sandhed.

Ved denne deduktive metode føres man gennem enkle logiske skridt fra udsagn, som enhver vil regne som indlysende sande (postulaterne), til udsagn som ikke umiddelbart fremtræder som sande (teoremerne). Et eksempel på et teorem hos Euklid er den pytagoræiske læresætning. Den siger, at kvadratet på hypotenusen er lig summen af kvadraterne på kateterne i en retvinklet trekant. De færreste oplever denne sætning som intuitiv sand, men Euklid viser, at den følger logisk af postulaterne i geometrien.

Efter den græske blomstringstid - som varede til omkring 200 e.v.t. - fulgte en længere periode med ingen eller ringe udvikling af matematikken. Kombinationen af feudalisme og kristendom virkede åbenbart ikke stimulerende på den videnskabelige tænkning. I højmiddelalderen var araberne de mest fremtrædende matematikere. Det var dem, der indførte den skrivemåden for tal, som vi anvender i dag.

Renæssancen og de første spirer til kapitalisme i Italien i det 16. århundrede indvarslede den moderne tids matematik og videnskab. Matematikken udviklede sig fra nu af i nær tilknytning til naturvidenskaben - i første række astronomi og fysik. Tidens store matematikere var gerne både naturvidenskabsmænd og filosoffer. Det gjaldt f.eks. Descartes, Newton og Leibniz. Denne alsidighed forsvandt efterhånden med den tiltagende specialisering indenfor alle forskningsgrene. Vore dages matematikere synes således at finde hele deres åndelige føde og motivering indenfor rammerne af matematik og dens problemer.

Allerede i løbet af det 17. århundrede var de fleste begreber - som vi i dag genkender fra gymnasiematematikken - indført. Det vigtigste nye i forhold til oldtiden var funktionsbegrebet. Mens de forskellige regneoperationer med tal foregår indenfor én talmængde, giver en funktion en sammenhæng mellem to talmængder. Med Descartes' indførelse af koordinatsystemet, kan funktioner fremstilles grafisk og en kurves tangent knyttes til den differentierede funktionen. Integration af arealer var blevet udført allerede i oldtiden, men først i det 17. århundrede blev der fundet generelle metoder - af Newton og Leibniz. I studiet af uendelige processer og grænseværdier blev det påvist, at integration kan udføres som den modsatte operationen af differentiering. Dette er det grundlæggende princip for matematisk analyse - den disciplin indenfor matematikken som utvivlsomt har haft størst betydning for den tekniske og videnskabelige udvikling i moderne tid.

I flere tusind år havde man kunnet løse første- og andengradsligninger, men først i det 16. århundrede blev tredje- og fjerdegradsligningen løst. De komplicerede problemer som algebraen her stod overfor, fremtvang en forenkling gennem systematisk anvendelse af et matematisk tegnsprog. Bogstaver blev introduceret for tal - kendte eller ukendte. Deraf den populære klassiske betegnelse for algebra: Bogstavregning. Et væsentlig led i udviklingen af algebraen var Niels Henrik Abels bevis i 1824 for, at femtegradsligningen ikke havde nogen generel løsning. Dette førte til en søgning efter generelle kriterier for ligningers løsbarhed. En forskning som gav stødet til udvikling af gruppeteorien.

Geometrien var den del af oldtidens matematik som holdt længst stand mod nye idéer. Godt nok havde Euklids parallelpostulat længe virket mindre selvindlysende end de øvrige postulater. Dette postulat hævder, at der gennem et punkt udenfor en ret linie kun kan trækkes én parallel linie. Mange havde op gennem tiderne forsøgt at bevise dette postulat ud fra de øvrige postulater. I begyndelsen af det 19. århundrede blev det imidlertid bevist, at parallelpostulatet var uafhængig af de øvrige postulater.

Dermed var vejen åben for at lave geometrier, der var anderledes end Euklids - de såkaldte ikke-euklidske geometrier. Parallelpostulatet bliver her erstattet med et postulat som siger, at der enten ikke findes nogen parallel til en ret linie, eller at der går uendelig mange paralleller til en ret linie gennem et givet punkt udenfor linien. I disse nye geometrier vil summen af vinklerne i en trekant ikke længere være 180 grader. Et fysisk rum som svarer til ikke-euklidsk geometri bliver gerne kaldt et krumt rum. Næsten hundrede år efter opdagelsen af ikke-euklidske geometrier fandt de anvendelse i Einsteins generelle relativitetsteori. Ifølge denne er vort fysiske rum strengt taget et krumt rum, men tilnærmet lokalt er det et euklidsk rum.

Udviklingen af matematikken i det 19. og 20. århundrede har været meget vidtfavnende og kan vanskelig sammenfattes under nogen enkle begreber. Efter flere århundreder med en næsten uhæmmet udvikling, opstod der efterhånden et behov for større strenghed og abstraktion. Dette førte til, at logiske og operationelle fællestræk blev afdækket, således at grænserne mellem de forskellige matematiske discipliner blev mere udvisket. I slutningen af forrige århundrede blev mængdelæren udviklet. Den synes at kunne give matematikken en mere enhedsorienteret basis. En mængde kan i udgangspunktet tænkes som en hvilken som helst samling af objekter - konkrete eller abstrakte. Disse objekter kaldes for mængdens elementer. Ved at introducere forbindelser mellem disse elementer får mængden en struktur, som svarer til de forskellige matematiske strukturer.

Siden 1970'erne er der i skoleundervisningen blevet indført mængdelære under betegnelsen ny eller moderne matematik og det på et tidligt tidspunkt i undervisningen. Denne matematik adskiller sig fra den mere traditionelle ved, at den løsriver matematikken fra tal og rumstørrelser. I stedet for at opfatte alt som tal, bliver tallene nu en af mange mulige mængder, regneoperationerne bliver et sæt af mange mulige regneoperationer osv. Det man derved vinder i generalitet, tabes til gengæld i umiddelbar praktisk nytte og forståelse.

Hvad er matematik?

Til trods for at matematikken ofte fremtræder som uhyre livsfjern og abstrakt, er der i vor tid ringe tvivl om, at den har en helt afgørende praktisk betydning for menneskene. Der er heller tvivl om, at matematikken repræsenterer en næsten urokkelig og evig erkendelse, mens alt andet kan virke usikkert og forgængeligt. Disse til dels paradoksale forhold giver anledning til at stille spørgsmål om, hvad matematik er, hvad der er dens dybere grundlag.

Det mest kendte klassiske svar blev givet i oldtiden af Platon. Han opfattede matematikkens objekter som en genspejling af evige og uforanderlige størrelser fra idéernes verden. Overfor denne opfattelse står Kants opfattelse om, at matematikken i lighed med logikken er udtryk for en struktur, som er uløselig knyttet til menneskelig forstand. Et typisk «moderne» standpunkt har været fuldstændig at forkaste den opfattelse, at matematikken er «sand». I stedet opfattes matematik som et meningsløst spil med meningsløse symboler, kun underlagt kravet om fravær af logiske modsigelser. Denne opfattelse er imidlertid ikke så let at forsvare, efter at logikeren Gödel i 1930'erne beviste, at det er principielt umuligt med matematiske metoder at afgøre, om matematikken er fri for modsigelser.

I mere eller mindre modereret form synes disse tre opfattelser at være de mest udbredte i vestlig tænkning i vor tid. Ud fra en marxistisk synsvinkel virker ingen af dem tilfredsstillende. Ikke mindst fordi de uden videre løsriver matematikken fra den økonomiske og samfundsmæssige sammenhæng. Disse opfattelser er præget af de vanlige illusioner om bevidsthedens selvstændige stilling, som netop er typisk for metafysisk og idealistisk filosofi.

Matematik og samfund

Det er ikke så vanskelig at se sammenhængen mellem matematik og samfundsmæssige forhold, når man går tilbage i tiden. Værre er det når abstraktionsniveauet i matematikken bliver så højt, som det kan være i dag. Set ud fra en materialistisk synsvinkel ændrer dette imidlertid ikke noget ved matematikkens fundamentale karakter. Uanset hvor abstrakt tænkningen er, vil dens basis være materielle forhold, nærmere bestemt forholdet mellem mennesket og dets omgivelser.

I nogen udstrækning kan matematikken nok betragtes som et spil med meningsløse symboler, hvor man frit kan vælge spillets regler. Som deduktivt system kan man i matematikken ikke bevise mere end det, der ligger i postulaterne og som følger de logiske regler - som i Euklids geometri. Hvis postulaterne og de logiske regler derfor ikke lader sig fuldstændig løsrive fra den materielle virkelighed, vil heller ikke matematikken og dens sætninger kunne løsrives fuldstændig. Ud fra et materialistisk standpunkt er netop denne tilknytning til virkeligheden grunden til og forudsætningen for matematikkens betydning for mennesket. Den ikke-euklidske geometri er et godt eksempel på et matematisk system som i udgangspunktet kunne virke som en ren tankeleg, men som senere viste sin anvendelighed i relativitetsteorien.

Matematikken afspejler imidlertid ikke enkelte, konkrete genstande eller forhold i virkeligheden. Den vil snarere være et udtryk for de mest generelle, de mest abstrakte sider ved menneskets vekselvirkning med omgivelserne. De matematiske strukturer vil derfor svare til virkelige eller mulige abstrakte strukturer i den materielle verden.

Ikke alle de systemer man kan lave vil være lige interessante. Spørgsmålet om matematikkens anvendelighed vil stort set være historisk betinget, afhængig af karakteren og udstrækningen af menneskets stoflige vekselvirkning med omgivelserne.

O.-P.M.