Kategorier dette opslag er registreret under:
Arbejde  .  Videnskab  .  Naturvidenskab  .  Fysik
DatoOpdatering
Indhold
Diskussionsforum
Send
Sidst ajourført: 1/5 2003
Læst af: 12.019
Arbejde  .  Videnskab  .  Naturvidenskab  .  Fysik
: :
Statistisk mekanik
Left
Rocks
2019-07-09 07:29

Statistisk mekanik er anvendelsen af statistiske metoder til beskrivelse af fysiske systemer der ikke eller kun vanskeligt lader sig beskrive ved at løse bevægelsesligningerne eksakt. Metoden er meget anvendt, men ikke begrænset, til store systemer hvor antallet af frihedsgrader er så stort at man end ikke kan finde eller gætte begyndelsesbetingelserne for systemet. En statistisk beskrivelse giver mulighed for at opbygge en beskrivelse af gennemsnitsværdier for et system ud fra de mikroskopiske egenskaber. Omvendt kan man ud fra målte værdier baseret på store ensemble slutte sig til visse mikroskopiske egenskaber, som for eksempel de tilladte energiniveauer i et molekyle. Ligesom termodynamikken er statistisk mekanik en meget general metode og anvendes på systemer der spænder fra neutronstjerner til beskrivelsen af den menneskelige arvemasse.

Statistisk fysik er baseret på den antagelse, at et system indtager alle tilstande med samme energi med lige stor sandsynlighed. Hjertet i den statistiske mekanik er den kanoniske tilstandssum

Q = ∑ exp(-Ei/kT) (1)

hvor k er Boltzmanns konstant, T er temperaturen, og Ei er energien af systemets tilstand 'i'. Kvantemekanisk er ikke alle energier tilladte og summen er derfor lettest at beregne og forstå når man beskriver systemet kvantemekanisk og ikke ifølge den klassiske mekanik. Tilstandssummen er (stort set) udtryk for det samlede antal mulige energitilstande i et system ved en given temperatur, og er en meget hurtig voksende funktion af temperaturen. Sandsynligheden for at antræffe systemet i en bestemt energitilstand er:

pi = exp(-Ei/kT)/Q (2)

Denne sandsynlighed kan anvendes til at finde gennemsnitsværdien, der svarer til enhver makroskopisk variabel J, der afhænger af systemets energitilstand:

<J> = ∑ pi Ji = ∑ Ji exp(-Ei/kT)/Q (3)

hvor <J> er gennemsnitsværdien af variablen J.

Som eksempel på en anvendelse af ligning 3 kan man finde den den indre energi U som:

U = ∑Eiexp(-Ei/kT)/Q (5)

Termodynamiske egenskaber kan udledes fra tilstandssummen ved forskellige operationer, så som at differentiere med hensyn til forskellige variable. Egenskaber der kan udledes fra den kanoniske tilstandssum er givet i nedenstående tabel. Nogle størrelser er ikke omtalt tidligere, men bruges ved beregninger af kemisk ligevægt. :

Helmholtz' frie energi A = -kT ln Q
Indre energi U = kT2(dlnQ/dT)N,V
Tryk P = kT(dlnQ/dV)N,T
Entropi S = klnQ + U/T
Gibbs' frie energi G = -kT ln Q + kTV(dlnQ/dV)N,T
Entalpi H = U + PV
Konstant volumen-varme kapacitet CV = (dU/dT)N,V
Konstant tryk-varme kapacitet CP = (dH/dT)N,P
Kemisk potentiale μi = -kT(dlnQ/dNi)T,V,N

Den kanoniske tilstandssum beregnes med et givet antal partikler, en bestemt temperatur og et givet volumen. Man kan definere andre typer tilsstandssummer hvor f.eks. energien og ikke temperaturen er fastholdt (mikrokanonisk tilsstandssum), eller trykket i stedet for volumenet osv.

Entropien er en vigtig størrelse i den statistiske mekanik, idet den sammen med Boltzmann-faktoren i ligning 2 bestemmer balancen mellem uorden (entropi) og orden (Boltzmann-faktor). Entropien er den naturlige logaritme til antallet af tilstande (ganget med Boltzmanns konstant)

Beregner man tilstandssummer for en gas af molekyler er det ofte en god tilnærmelse at betragte energien af et molekyle som fordelt over et antal egenskaber uden direkte kobling mellem hinanden, f.eks. rotation og translation. Det har som konsekvens, at tilstandssummen kan skrives som et produkt af tilstandssummer for hver frihedsgrad. I andre situationer er man ikke så heldig og må beregne tilstandssummen ved samtidig summation over flere frihedsgrader, enten eksakt eller tilnærmet.

A.J. / K.Han.